Hidrojenin dört renkli parmak izi

İnce bir tüpteki hidrojenden elektrik geçirip ışığını bir prizmadan geçirirsen gökkuşağı görmezsin: karanlık bir zeminde kırmızı, camgöbeği, mavi ve mor dört ince çizgi görürsün. 1913'te 27 yaşındaki Niels Bohr, bu çizgilerin yerini tek bir formülle ve yalnızca doğa sabitleriyle hesapladı. Bunun için klasik fiziğin iki kuralını bilerek çiğnemesi gerekti.

Bohr'un fikrine göre elektron çekirdeğin çevresinde ancak belirli "basamaklarda" durabilir. Bir basamaktan aşağı indiğinde aradaki farkı tek bir ışık paketi olarak yayar. Basamaklar sabit olduğu için renkler de sabittir; bir merdivenin basamak aralıkları gibi.

Bohr iki varsayım yaptı: elektron açısal momentumu ħ'nin tam katı olan yörüngelerde ışımadan dolanır, ve bir yörüngeden ötekine geçerken farkı hν = E_üst − E_alt enerjili tek bir foton olarak alır ya da verir. Buradan Rydberg sabiti R = mₑe⁴/(8ε₀²h³c) çıkar; Bohr'un 1913'te elindeki sabitlerle bulduğu değer, gözlenenle deneysel hata payı içinde uyuşuyordu.

Modelin hikâyesi

1885 · Basel

Bir kız lisesi öğretmeni ve dört sayı

Johann Jakob Balmer altmış yaşına yaklaşmış bir matematik öğretmenidir; Basel'deki kız lisesinde ders verir. Meslektaşı Eduard Hagenbach'ın cesaretlendirmesiyle Ångström'ün ölçtüğü dört hidrojen çizgisine bakar ve hepsine uyan bir kural bulur: dalga boyu, sabit bir "temel sayı" çarpı m²/(m² − 4).

Uyum çarpıcıdır. Kırmızı çizgi için formül 6562,08, ölçüm 6562,10 ångström verir. Balmer beşinci bir çizgiyi 3969,65 Å'da öngörür. Hagenbach ona bu çizgilerin, Vogel'in laboratuvarda ve Huggins'in beyaz yıldızlarda ölçtüğü mor ve morötesi çizgiler arasında zaten bulunduğunu söyler.

Temel sayı h = 3645,6 Å, serinin sınırıdır: m → ∞. Balmer formülün genel biçimini m²/(m² − n²) olarak da yazdı ve n = 1, 3, 4 için başka seriler olabileceğini tahmin etti. Bu seriler 1906–1924 arasında bulundu (Lyman, Paschen, Brackett, Pfund).

Kaynak: Balmer, Ann. Phys. Chem. 25, 80 (1885; önce Verh. Naturforsch. Ges. Basel 7, 548)

1888–1890 · Lund

Dalga boyu yerine dalga sayısı

İsveçli Johannes Rydberg, alkali metallerin tayflarındaki serileri incelerken dalga boyu yerine onun tersini, dalga sayısını kullanır. O zaman her çizgi iki terimin farkı olarak yazılabilir. Bütün elementlerde aynı çıkan bir sabit vardır: bugün onun adını taşıyan Rydberg sabiti.

Hidrojen için 1/λ = R (1/n₁² − 1/n₂²). Balmer formülü bunun n₁ = 2 durumudur ve R = 4/h olur. Rydberg formülü 1888'in sonlarında buldu; uzun makalesi 1889'da İsveç Bilimler Akademisi'ne sunuldu ve 1890'da yayımlandı.

Kaynak: Rydberg, Kongl. Svenska Vet.-Akad. Handl. 23, No. 11 (1890); Phil. Mag. 29, 331 (1890)

1896 · Harvard

Bir yıldızda tuhaf çizgiler

Harvard Gözlemevi'nde Williamina Fleming, ζ Puppis yıldızının tayfında Balmer serisine benzeyen ama onun arasına düşen çizgiler bulur. Gözlemevinin müdürü Edward Pickering onları "başka yıldızlarda ya da yeryüzünde henüz bulunmamış bir elemente" bağlar ve değiştirilmiş bir Balmer formülüyle tarif eder.

Sonradan bu çizgiler, sanki "yarım tamsayılı" Balmer çizgileriymiş gibi hidrojene yorumlandı. 1912'de Alfred Fowler, hidrojen ve helyum karışımı tüplerde güçlü bir boşalma ile benzer çizgileri ve 4686 Å'daki parlak bir çizgiyi laboratuvarda elde etti.

Kaynak: Pickering, Astrophys. J. 4, 369 (1896) ve 5, 92 (1897); Fowler, MNRAS 73, 62 (1912); Fleming'in rolü için arXiv:2402.14734

1911–1912 · Cambridge, Manchester

Çekirdekli atom, çökmesi gereken atom

Ernest Rutherford 1911'de atomun kütlesinin çok küçük bir çekirdekte toplandığını gösterir. Bu atomun klasik fizikte büyük bir sorunu vardır: çekirdeğin çevresinde dönen elektron ivmelenir, ivmelenen yük ışık yayar, enerji kaybeden elektron da sarmal çizerek çekirdeğe düşmelidir.

Bohr doktorasını bitirince 1911 sonbaharında Cambridge'e, J. J. Thomson'ın yanına gider. 1912 Mart'ında Manchester'a, Rutherford'un laboratuvarına geçer ve Temmuz sonuna kadar orada kalır.

Bohr 1913 makalesinde çöküş için bir süre vermez; yalnızca elektronun "giderek küçülen yörüngeler" üzerinde çekirdeğe yaklaşacağını ve sıradan moleküler süreçlere göre muazzam bir enerji yayacağını yazar. Bugün ders kitaplarında verilen yaklaşık 10⁻¹¹ s, Larmor formülüyle yapılan modern bir tahmindir (Deney sekmesindeki "Klasik atom").

Kaynak: Rutherford, Phil. Mag. 21, 669 (1911); Bohr, Phil. Mag. 26, 1 (1913); Nobel biyografisi (nobelprize.org)

Şubat 1913 · Kopenhag

"Balmer formülünü görür görmez"

Bohr aylardır atomların büyüklüğü ve kimyasal özellikleri üzerinde çalışmaktadır, ama tayflarla ilgilenmemiştir. Meslektaşı Hans Marius Hansen ona Balmer formülünü sorar. Tarihçiler bu konuşmayı 1913 Şubatının başına tarihler; birkaç hafta içinde hidrojen kuramı hazırdır.

Bohr'un sonraki yıllarda sık sık şöyle dediği aktarılır: "Balmer formülünü görür görmez her şey bir anda kafamda aydınlandı."

Kaynak: Heilbron ve Kuhn, Hist. Stud. Phys. Sci. 1, 211 (1969); söz: L. Rosenfeld'in On the Constitution of Atoms and Molecules (1963) baskısına girişi, s. xxxix (Bohr'un anlattığına göre)

Mart 1913 · Manchester

"Elektron nerede duracağını önceden mi biliyor?"

Bohr 6 Mart'ta makalenin ilk bölümünü Rutherford'a yollar. 20 Mart'taki yanıt hem destekleyici hem kuşkucudur: Planck'ın fikirlerinin eski mekanikle karıştırılması, işin fiziksel temelini kavramayı çok zorlaştırıyordur. Ve ciddi bir güçlük vardır: elektron bir durağan hâlden ötekine geçerken hangi frekansta titreşeceğine nasıl karar verir? "Bana öyle geliyor ki elektronun nerede duracağını önceden bildiğini varsaymak zorunda kalacaksınız."

Aynı mektupta Rutherford, açık olma çabasıyla makaleyi fazla uzattığını söyler ve kısaltmasını önerir.

Bu itiraz yerindeydi. Bohr modeli fotonun ne zaman ve hangi alt düzeye inileceğini söylemez; yalnızca olası enerjileri verir. Olasılıklar ancak 1916'da Einstein'ın A ve B katsayılarıyla, gerçek değerleri de kuantum mekaniğiyle hesaplanabildi. Simülasyondaki dallanma oranları bu sonraki fizikten gelir.

Kaynak: Rutherford'dan Bohr'a mektup, 20 Mart 1913, Niels Bohr Collected Works II, s. 583; Kragh, Niels Bohr and the Quantum Atom (2012)

Temmuz–Kasım 1913

Üçleme

"Atomların ve moleküllerin yapısı üzerine" başlıklı üç makale Philosophical Magazine'de Temmuz, Eylül ve Kasım 1913'te çıkar. İlki hidrojeni ele alır. Bohr, elektronun yükü, kütlesi ve Planck sabitiyle Rydberg sabitini hesaplar: 3,1 × 10¹⁵ s⁻¹. Gözlenen değer 3,290 × 10¹⁵ s⁻¹'dir; Bohr'a göre fark "sabitlerdeki deneysel hatalardan gelen belirsizliğin içinde"dir.

Kaynak: Bohr, Phil. Mag. 26, 1–25, 476–502, 857–875 (1913)

1913 · Manchester, Kopenhag

Pickering çizgileri hidrojenin değil

Bohr'un ilk makalesi bir öngörü içerir: Pickering ve Fowler'ın çizgileri hidrojene değil, bir elektronunu kaybetmiş helyuma (He⁺) aittir. Çekirdek yükü iki kat olduğu için bütün enerjiler dört kat büyür ve yarım tamsayılı gibi görünen çizgiler ortaya çıkar.

Manchester'da Evan Jenkin Evans, içinden hidrojen temizlenmiş helyum tüplerinde 4686 Å çizgisini görür. Fowler itiraz eder: ölçülen oran tam 4 değildir. Bohr'un yanıtı, çekirdeğin de hareket ettiğini hesaba katmaktır: indirgenmiş kütleyle oran 4,0016 olur ve ölçümle uyuşur. Fowler aynı sayıda bunu kabul eder.

Viyana'daki bir toplantıda George de Hevesy bu sonucu Einstein'a anlatır. Hevesy'nin Rutherford'a yazdığına göre, "Einstein'ın büyük gözleri daha da büyüdü ve bana 'O hâlde bu en büyük keşiflerden biri' dedi."

Kaynak: Evans, Nature 92, 5 (1913); Fowler, Nature 92, 95 (1913); Bohr, Nature 92, 231 (1913); Hevesy'den Rutherford'a, 14 Ekim 1913 (A. S. Eve, Rutherford, 1939, s. 226)

1914 · Berlin

Elektronlarla basamak saymak

James Franck ve Gustav Hertz, cıva buharından geçen elektronların ancak 4,9 eV'lik paketler hâlinde enerji kaybettiğini gösterir. Bu, atomun iç enerjisinin basamaklı olduğunun ışıktan bağımsız ilk kanıtıdır. İlginç olan, ikisinin bunu önce iyonlaşma sanmasıdır; Franck sonradan Bohr'un kuramını o sırada bilmediklerini anlattı.

Kaynak: Franck ve Hertz, Verh. Dtsch. Phys. Ges. 16, 457 (1914); Nobel Fizik Ödülü 1925 (1926'da verildi)

1916 · Münih

Elipsler ve ince yapı

Arnold Sommerfeld, Bohr'un çemberlerini elipslerle ve ikinci bir kuantum sayısıyla genişletir, göreliliği de ekler. Böylece hidrojen çizgilerinin aslında çok yakın birkaç çizgiden oluştuğunu, yani ince yapıyı açıklar. İnce yapı sabiti α ilk kez burada görünür.

Kaynak: Sommerfeld, Ann. Phys. 51, 1 ve 125 (1916)

1922 · Stockholm

Nobel ödülü

Bohr, 1922 Nobel Fizik Ödülü'nü "atomların yapısının ve onlardan yayılan ışınımın araştırılmasına yaptığı hizmetlerden dolayı" alır. 11 Aralık 1922'deki Nobel konuşmasının başlığı "Atomun yapısı"dır.

Birkaç yıl içinde yörünge fikri tümüyle terk edildi: 1925'te Heisenberg'in matris mekaniği, 1926'da Schrödinger'in dalga mekaniği. Bohr'un enerji düzeyleri ve frekans koşulu ise yeni kuramda aynen yaşadı.

Kaynak: nobelprize.org, 1922 Fizik Ödülü ve Nobel konuşması

Zaman çizelgesi

1885Balmer, dört hidrojen çizgisine uyan formülü yayımlar.
1889–90Rydberg, çizgileri dalga sayısı farkları olarak yazar; Rydberg sabiti.
1896Fleming ve Pickering, ζ Puppis'te "yarım tamsayılı" Balmer benzeri çizgiler.
1911Rutherford'un çekirdekli atomu (Mayıs). Bohr Cambridge'de (Eylül).
1912Bohr Manchester'da (Mart–Temmuz). Fowler 4686 Å çizgisini laboratuvarda elde eder.
1913Şubat: Hansen ve Balmer formülü. 6 Mart: taslak Rutherford'da. Temmuz–Kasım: üçleme. Eylül–Ekim: Evans, Fowler ve Bohr arasında He⁺ tartışması.
1914Franck–Hertz deneyi.
1916Sommerfeld: elipsler, ince yapı. Einstein: A ve B katsayıları.
1922Bohr'a Nobel Fizik Ödülü.
1925–26Matris mekaniği ve Schrödinger denklemi; Bohr yörüngelerinin yerini dalga fonksiyonları alır.

Kaynaklar

J. J. Balmer, "Notiz über die Spectrallinien des Wasserstoffs", Ann. Phys. Chem. 25, 80–87 (1885).
J. R. Rydberg, Kongl. Svenska Vet.-Akad. Handl. 23, No. 11 (1890); Phil. Mag. 29, 331–337 (1890).
E. C. Pickering, Astrophys. J. 4, 369 (1896); 5, 92 (1897). A. Fowler, MNRAS 73, 62 (1912).
E. Rutherford, Phil. Mag. 21, 669–688 (1911).
N. Bohr, "On the Constitution of Atoms and Molecules", Phil. Mag. 26, 1–25, 476–502, 857–875 (1913); "The spectra of helium and hydrogen", Nature 92, 231 (1913).
E. J. Evans, Nature 92, 5 (1913). A. Fowler, Nature 92, 95 (1913).
J. Franck, G. Hertz, Verh. Dtsch. Phys. Ges. 16, 457 (1914). A. Sommerfeld, Ann. Phys. 51, 1 (1916).
J. L. Heilbron, T. S. Kuhn, "The Genesis of the Bohr Atom", Hist. Stud. Phys. Sci. 1, 211 (1969). J. L. Heilbron, "The mind that created the Bohr atom", Séminaire Poincaré XVII (2013).
H. Kragh, Niels Bohr and the Quantum Atom, Oxford (2012). L. Rosenfeld, giriş, N. Bohr, On the Constitution of Atoms and Molecules, Munksgaard (1963).
W. L. Wiese, J. R. Fuhr, J. Phys. Chem. Ref. Data 38, 565 (2009). NIST Atomic Spectra Database (sürüm 5).

Yörüngeler ölçekli: r ∝ n². Görünüm elektronu izleyerek yakınlaşır.

Atom (yörünge görünümü)Dönüş hızı görsel: gerçekte periyot ∝ n³

Enerji düzeyleri. Oklar: son geçişler (yukarı: soğurma, aşağı: salım)

Spektroskop

Gerçek tayfla karşılaştır (NIST)

Atomdan çıkan her foton tayfta çizgisine eklenir; çizgi parlaklığı foton sayısıyla artar. Gözün göremediği ışık gri ve kesikli. 200 nm üstü havada ölçülen dalga boyu.

Ayarlar

Işık kaynağı

Fotonun dalga boyu

Dalga boyunu yaz nm

Cetvel: bu düzeyden yukarı geçişler. Tıkla ya da sürükle.

Çizgilere yapış (± %0,6)

Elektronu bir yörüngeye uyar

Yukarı: gereken foton otomatik gönderilir. Aşağı: foton salınır.

Kendiliğinden geri dönüş (salım)

Zamanı yavaşlat

Gerçek ömürler nanosaniye: n = 2 için 2,1 ns, n = 3 için 10 ns.

Çekirdek

Rezonans penceresi

Gerçek doğal genişlik Lyα için 4 × 10⁻⁷ eV; burada görülebilir olsun diye büyütüldü.

Simülasyon hakkında

Bu simülasyon, Niels Bohr'un tek elektronlu atomlar için kurduğu modeli en basit örnek olan hidrojen atomu üzerinden gösterir. Bohr'a göre elektron çekirdeğin çevresinde rastgele değil, yalnızca belirli enerjili yörüngelerde bulunabilir. Elektron en düşük düzeydeyken (n = 1) atom temel hâldedir. Enerjisi tam bir düzey farkına eşit bir foton yutarsa uyarılmış hâle geçer. Uyarılmış atom kararsızdır: kısa sürede fazla enerjisini bir foton olarak yayarak alt düzeylere döner. Fotonun enerjisi iyonlaşma enerjisinden büyükse elektron kopar.

Sayılar: enerjiler indirgenmiş kütleli Bohr formülünden (Eₙ = −13,598/n² eV), kendiliğinden salım hızları ve dallanma oranları NIST'in hidrojen için verdiği n → n′ Einstein A katsayılarından (Wiese ve Fuhr 2009). Tayftaki dalga boyları 200 nm üstünde havadaki değerlerdir (Edlén formülü, IAU standardı). Gerçek ömürler nanosaniye mertebesinde olduğu için zaman ayarlanabilir bir katsayıyla yavaşlatılır; bütün ömürler aynı katsayıyla ölçeklendiği için oranları gerçektir.

Lamba kipinde her olayın hızı, düz tayflı bir kaynakta, soğurma için osilatör şiddetiyle (f), uyarılmış salım için (g_alt/g_üst) f ile, iyonlaşma için de TRK toplam kuralından bulunan sürekli osilatör şiddetinin lamba bandına düşen kısmıyla (Kramers biçimi, σ ∝ E⁻³) orantılıdır. Tabancada tek bir fotonun soğurulma olasılığı rezonans penceresinde 1, dışında 0 alınır: gerçekte tek bir atom için bu olasılık çok küçüktür.

Fizik

Merdiven, basamaklar ve ışık

Bohr atomunda elektron çekirdeğe bir merdivenin basamaklarında durur gibi bağlıdır. Basamaklar eşit aralıklı değildir: aşağıda geniş, yukarıda sıktır. En alt basamakla sonsuz yükseklik (elektronun koptuğu yer) arasındaki fark 13,6 elektronvolttur.

Elektron bir basamaktan aşağı indiğinde aradaki enerji farkını tek bir ışık paketi, yani bir foton olarak yayar. Fotonun rengi enerjisine bağlıdır: büyük farklar morötesi, orta farklar görünür ışık, küçük farklar kızılötesi verir. Hidrojenin görünür dört çizgisi, elektronun 3., 4., 5. ve 6. basamaktan 2. basamağa inişleridir.

Rezonans: anahtar ve kilit

Tersi de geçerlidir: atom bir fotonu ancak enerjisi bir basamak farkına tam eşitse yutar. Biraz fazlası ya da biraz eksiği işe yaramaz; foton atomun içinden geçip gider. Akort edilmiş bir gitar teli de yalnızca kendi notasına karşılık verir. Tek istisna, elektronu koparmaya yetecek kadar büyük enerjilerdir: o zaman fazlası kopan elektronun hızına gider.

Bu yüzden temel hâldeki hidrojen gazı görünür ışığa saydamdır: en küçük basamak bile morötesi bir foton gerektirir.

Klasik fizik neden yetmedi?

Klasik fizikte çember üzerinde dönen bir yük sürekli ışık yayar. Işık enerji götürdüğü için elektron sarmal çizerek çekirdeğe düşmeli ve bu yaklaşık yüz milyarda bir saniye sürmeli. Üstelik yayılan ışık, frekansı sürekli artan bir "cıvıltı" olmalı. Oysa atomlar kararlıdır ve keskin çizgiler yayar. Bohr, sorunu çözmek yerine kural koydu: izinli yörüngelerde elektron ışımaz. Bu kuralın neden doğru olduğunu ancak 1925–26'da kuantum mekaniği açıkladı.

Ne kadar beklemeli?

Uyarılmış bir atom ne zaman ışıyacağını önceden bilmez; yalnızca ortalama bir bekleme süresi vardır. n = 2 için bu süre yaklaşık 2 nanosaniyedir. Simülasyonda zaman yüz milyon kat yavaşlatılmıştır: 1 nanosaniye ekranda 0,1 saniye sürer.

Bohr'un varsayımları

1) Elektron çekirdek çevresinde, açısal momentumu ħ'nin tam katı olan çembersel yörüngelerde ışımadan dolanır: L = mₑvr = nħ. 2) Bir yörüngeden ötekine geçerken farkı tek bir foton olarak alır ya da verir: hν = E_üst − E_alt. Merkezcil kuvveti Coulomb çekimi sağlar:

mₑv²/r = Ze²/(4πε₀r²) , mₑvr = nħ

Buradan

rₙ = n² a₀ / Z , a₀ = 4πε₀ħ²/(mₑe²) = 0,0529 nm

vₙ = Zαc / n , v₁ = αc = 2,19 × 10⁶ m/s (ışık hızının 1/137'si)

Eₙ = −Z² R_y / n² , R_y = mₑe⁴/(8ε₀²h²) = 13,606 eV

1/λ = Z² R (1/n_alt² − 1/n_üst²)

Yörünge periyodu Tₙ = 2πrₙ/vₙ ∝ n³; n = 1 için 1,52 × 10⁻¹⁶ s.

Tablo: ilk dört düzey (hidrojen)

n	rₙ (nm)	vₙ (m/s)	Eₙ (eV)	L	Tₙ (s)	τₙ (ns)

İndirgenmiş kütle

Çekirdek sonsuz ağır değildir; elektron ile çekirdek ortak kütle merkezleri çevresinde döner. Formüllerde mₑ yerine indirgenmiş kütle μ = mₑM/(mₑ + M) yazılır. Hidrojen için μ/mₑ = 0,999 456; bu yüzden R_H = R_∞/(1 + mₑ/mₚ) = 10 967 758 m⁻¹ ve iyonlaşma enerjisi 13,606 değil 13,598 eV'dir. Fark yalnızca %0,054'tür ama tayfçıların ölçtüğü dalga boylarında (Hα'da 0,36 nm) açıkça görünür. Simülasyonun bütün sayıları indirgenmiş kütlelidir.

Seriler

Seri	Alt düzey	İlk çizgi	Seri sınırı	Bölge

Dalga boyları bu sayfanın modelinden; 200 nm üstü havada. Ölçülen değerlerle karşılaştırma Doğrulama sekmesinde.

Kendiliğinden salım, ömür ve dallanma

Bohr modeli bir geçişin ne zaman ve hangi düzeye olacağını söylemez. 1916'da Einstein, her geçişe bir olasılık hızı (A katsayısı, s⁻¹) atadı; değerleri ise kuantum mekaniğinden hesaplanır. n düzeyinin ömrü τₙ = 1/Σ A(n → n′), n′ düzeyine inme olasılığı (dallanma oranı) A(n → n′)/Σ A'dır. Aşağıdaki tablo, NIST'in ℓ alt düzeyleri üzerinden istatistiksel ağırlıkla ortalanmış değerleridir.

Üst n	Alt n′: A (s⁻¹) ve dallanma oranı	τ (ns)

Kaynak: NIST ASD; W. L. Wiese ve J. R. Fuhr, J. Phys. Chem. Ref. Data 38, 565 (2009), Tablo 4 (ortalama değerler).

Zaman ölçeği. Simülasyonda gerçek süre bir katsayıyla çarpılır (varsayılan 10⁸: 10 ns → 1 s). Bekleme süresi her seferinde üstel dağılımdan rastgele çekilir. Bütün ömürler aynı katsayıyla ölçeklendiği için hangi düzeyin daha uzun yaşadığı ve dallanma oranları gerçektir; yalnızca saat yavaştır. Elektronun yörüngedeki dönüşü ise ayrıca sıkıştırılmıştır: gerçekte n = 1'de saniyede 6,6 × 10¹⁵ tur atar.

Soğurma, rezonans ve iyonlaşma

Bir foton, enerjisi E_üst − E_alt'a çizgi genişliği içinde eşitse soğurulabilir. Çizgi genişliği doğal olarak ħ/τ mertebesindedir: Lyα için yaklaşık 4 × 10⁻⁷ eV. Oda sıcaklığındaki bir gazda Doppler etkisi bunu yaklaşık 10⁻⁴ eV'ye çıkarır. Simülasyondaki rezonans penceresi (varsayılan ± 0,01 eV) gösterim için büyütülmüştür. Enerji iyonlaşma eşiğini (n düzeyinden 13,598/n² eV) aşarsa elektron kopar ve fazlasını kinetik enerji olarak götürür: K = hν − Eᵢ. Atomun içinde fotoelektrik olayıdır.

Tersi de olur: serbest bir elektron yakalanırsa yayılan fotonun enerjisi K + Eᵢ'dir. K sürekli değer alabildiği için bu ışık bir seri sınırından kısa dalga boylarına doğru uzanan sürekli bir banttır (Balmer sürekliliği, 364,6 nm altı).

Enerjisi aşağı doğru bir geçişe eşit olan bir foton, uyarılmış atomu o geçişi yapmaya zorlayabilir: gelen fotonla aynı yönde, aynı enerjili ikinci bir foton çıkar. Bu, Einstein'ın 1916'da öngördüğü uyarılmış salımdır; lazerin çalışma ilkesidir.

Klasik atomun çöküşü

Larmor formülüne göre ivmesi a olan bir yük P = e²a²/(6πε₀c³) gücünde ışır. Çembersel yörüngede a = Ze²/(4πε₀mₑr²) ve E = −Ze²/(8πε₀r). dE/dt = −P'den

dr/dt = −(4/3) Z rₑ² c / r² , r(t)³ = r₀³ − 4Z rₑ² c t , τ = r₀³ / (4Z rₑ² c)

rₑ = e²/(4πε₀mₑc²) = 2,818 fm klasik elektron yarıçapıdır. r₀ = a₀ için τ = 1,56 × 10⁻¹¹ s. Yayılan frekans yörünge frekansıdır, f = (1/2π)√(Ze²/(4πε₀mₑr³)), ve r küçüldükçe sürekli artar: a₀'da λ = 45,6 nm, sonra X ışınlarına kayar. Sonuç bir çizgi tayfı değil, sürekli bir tayftır.

Bohr 1913'te bir çöküş süresi vermez; yaklaşık 10⁻¹¹ s, sonradan ders kitaplarında yapılan bir tahmindir.

İleri: karşılık ilkesi

Büyük n için komşu düzeyler arasındaki geçişin frekansı, klasik yörünge frekansına yaklaşır: (Eₙ − Eₙ₋₁)/h ≈ 2R_y/(hn³) = 1/Tₙ. n = 1000 için oran 0,9985'tir (Doğrulama sekmesi). Bohr bu "karşılık ilkesini" kuramının hem gerekçesi hem de şiddetleri tahmin etmek için bir araç olarak kullandı: kuantum kuramı büyük kuantum sayılarında klasik fiziğe dönmelidir.

İleri: ℓ alt düzeyleri ve yarı kararlı 2s

Kuantum mekaniğinde n düzeyi n² (spinle 2n²) kat dejeneredir: ℓ = 0 … n − 1, m = −ℓ … ℓ. Elektrik dipol geçişleri yalnızca Δℓ = ±1 ile olur. Bu yüzden 2p → 1s hızı A = 6,265 × 10⁸ s⁻¹'dir (τ = 1,596 ns), ama 2s → 1s tek fotonla yasaktır. 2s durumu iki foton yayarak A = 8,229 s⁻¹ hızla bozunur: ömrü 0,12 s, yani 2p'den yaklaşık 10⁸ kat uzun. 2s yarı kararlıdır.

Simülasyon, NIST'in n → n′ ortalama A değerlerini kullanır: üst düzeyin ℓ alt düzeyleri (2ℓ + 1) ağırlıkla doludur. Örneğin A(2 → 1) = (6/8) × 6,265 × 10⁸ = 4,699 × 10⁸ s⁻¹; 2s'in dörtte birlik payı sıfır katkı verir. n = 3 için 3s (158 ns), 3p (5,27 ns) ve 3d (15,5 ns) ömürleri birbirinden çok farklıdır; gerçek bir boşalmada ℓ dağılımı uyarma yoluna bağlıdır ve dallanma oranları değişir.

İleri: hidrojen benzeri iyonlar ve Pickering serisi

Tek elektronlu her iyon için Eₙ = −Z² μ/mₑ · 13,606 eV/n². He⁺ için (Z = 2) bütün enerjiler yaklaşık dört kat büyüktür; n → 4 serisi (Pickering) hidrojenin Balmer çizgilerinin hemen yanına ve aralarına düşer: 656,0 nm (6 → 4), 541,2 nm (7 → 4), 454,2 nm (9 → 4). 4 → 3 geçişi Fowler'ın 468,6 nm çizgisidir. Pickering çizgilerinin yarım tamsayılı Balmer çizgileri gibi görünmesinin nedeni, 4/n² = 1/(n/2)² olmasıdır.

Bohr'un Fowler'a yanıtı, iki Rydberg sabitinin oranındaydı: R_He/R_H = 4 (1 + mₑ/mₚ)/(1 + mₑ/M_α) = 4,00163. Deney Ayarlarında İleri seviyede Z seçilebilir; A katsayıları Z⁴ ile ölçeklenir, dallanma oranları değişmez.

İleri: Schrödinger resmi

Schrödinger denklemi hidrojen için aynı enerjileri verir, Eₙ = −Z²R_y/n², ama resim tamamen farklıdır. Elektron bir yörüngede değil, ψ_nℓm dalga fonksiyonuyla tarif edilen bir olasılık bulutundadır. Temel hâlde ℓ = 0: açısal momentum sıfırdır (Bohr ħ der), bulut küreseldir ve en olası uzaklık a₀'dır; ortalama uzaklık ⟨r⟩ = (a₀/2Z)[3n² − ℓ(ℓ + 1)] ise 1,5 a₀'dır. Durağan hâller ışımaz, çünkü olasılık yoğunlukları zamanla değişmez; ışıma, iki durumun üst üste binmesinin salınan dipol momentinden gelir ve A katsayıları bu dipolün matris elemanlarından hesaplanır.

İleri: Bohr modelinin sınırları

İnce yapı ve Lamb kayması. Göreli düzeltmeler ve spin–yörünge etkileşimi düzeyleri α² ≈ 5 × 10⁻⁵ mertebesinde yarar (Sommerfeld 1916, Dirac 1928); kuantum elektrodinamiği 2s ile 2p₁/₂ arasında 1,06 GHz'lik Lamb kaymasını ekler. Modelin Hα'sı ölçülenden 0,009 nm uzundur; iyonlaşma enerjisi 13,598 287 eV, ölçülen 13,598 434 eV.

Çok elektronlu atomlar. Helyum gibi iki elektronlu bir atomda bile model başarısızdır; elektronlar arası itme ve değiş-tokuş etkileri yörünge resmine sığmaz.

Açısal momentum. Temel hâlin açısal momentumu Bohr'da ħ, kuantum mekaniğinde 0'dır. Zeeman yarılmalarının çoğu (anormal Zeeman etkisi) spin olmadan açıklanamaz.

Şiddetler ve süreler. Model çizgilerin yerini verir, parlaklıklarını ve ömürleri vermez. Bu simülasyonda onlar kuantum mekaniğinden (NIST) alınmıştır.

Bu simülasyonun basitleştirmeleri. Düzeyler n ≤ 7 ile sınırlı; n > 7'ye soğurma yok sayılır. ℓ alt düzeyleri istatistiksel ağırlıkla ortalanır (yarı kararlı 2s yok). Tek atom, çarpışma yok, geri tepme (Doppler, foton momentumu) yok. Tabancada soğurma olasılığı rezonans penceresinde 1. Yakalamada düzey seçimi Kramers yaklaşımıyla ∝ 1/n.

Model kendini sınıyor

Aşağıdaki testler sayfa açıldığında tarayıcında çalıştı. Her biri simülasyonun hesap motorunu bağımsız bir sonuçla karşılaştırır: ölçülmüş bir dalga boyu (NIST), bir ders kitabı değeri, tarihî bir sayı ya da analitik bir limit.

Bohr modeli ince yapıyı ve Lamb kaymasını içermez; bu yüzden ölçülen dalga boylarıyla farkı 10⁻⁵ mertebesindedir ve tolerans buna göre seçilmiştir. İndirgenmiş kütle olmasaydı fark 5 × 10⁻⁴ olurdu: bu da bir test.

Test	Beklenen	Model	Fark	Sonuç

Sabitler: CODATA 2018 (SI 2019 tanımları). Ölçülen dalga boyları: NIST Atomic Spectra Database; 200 nm üstü havada.