Kızgın demir neden önce kırmızı parlar?

Ocaktaki demir ısındıkça önce sönük kırmızı, sonra turuncu, sarı ve en sonunda beyaz parlar. 1900 yılında Berlin'deki fizikçiler bu ışığın tayfını çok duyarlı biçimde ölçmüştü, ama hiçbir kuram ölçülen eğrinin tamamını açıklayamıyordu. Max Planck'ın o yıl bulduğu formül, enerjinin ancak belirli büyüklükteki paketler hâlinde alınıp verilebileceğini varsayıyordu. Kuantum fiziği bu varsayımla başladı.

Isıtılan her cisim ışık yayar. Sen de şu anda ışıyorsun, ama gözünün göremediği kızılötesinde. Sıcaklık arttıkça ışıma hem çok güçlenir hem de kırmızıdan maviye doğru kayar.

İdeal bir soğurucu, yani kara cisim, yalnızca sıcaklığa bağlı evrensel bir tayf yayar. Bu tayfın toplam gücü T⁴ ile büyür, tepesi λ_max = b/T'ye kayar. Klasik fizik uzun dalgalarda doğru sonuç verir, ama kısa dalgalarda sonsuz enerji öngörür.

Deneyin hikâyesi

1859–1860 · HEIDELBERG

Evrensel bir fonksiyon

Gustav Kirchhoff, iyi soğuran cisimlerin iyi de yaydığını gösterdi. Gelen bütün ışığı soğuran bir "kusursuz kara cisim" tanımladı ve böyle bir cismin yaydığı ışığın yalnızca dalga boyuna ve sıcaklığa bağlı olması gerektiğini kanıtladı. Cismin neyden yapıldığı önemsizdi. Bu evrensel fonksiyonun biçimini bulmak, sonraki kırk yılın en zor sorularından biri oldu.

Kaynak: Kirchhoff, Monatsber. Akad. Wiss. Berlin 1859, 783 (15 Aralık 1859); Ann. Phys. 109 (1860) 275; Schirrmacher, HSPS 33 (2003) 299

1879–1884 · VİYANA, GRAZ

Dördüncü kuvvet

Josef Stefan, John Tyndall'ın kızdırılmış platin tel ölçümlerine baktı: 525 °C'den 1200 °C'ye çıkınca ışıma yaklaşık 11,7 kat artıyordu. Mutlak sıcaklıkların oranının dördüncü kuvveti de buna çok yakındı. Öğrencisi Ludwig Boltzmann beş yıl sonra aynı yasayı termodinamik ve ışınım basıncından türetti.

Kaynak: Stefan, Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien 79 (1879) 391; Boltzmann, Ann. Phys. 22 (1884) 291

1893–1896 · BERLİN

Wien'in iki yasası

Wilhelm Wien, termodinamikten tayfın sıcaklıkla nasıl "kaydığını" çıkardı: tepe dalga boyu ile sıcaklığın çarpımı sabittir. 1896'da tayfın tamamı için bir formül önerdi. Formül kısa dalgalarda ölçümlere çok iyi uyuyordu. Wien 1911 Nobel Fizik Ödülü'nü ısı ışımasıyla ilgili bu çalışmalarıyla aldı.

Kaynak: Wien, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. 1893, 55; Ann. Phys. 58 (1896) 662; nobelprize.org

1895–1900 · REICHSANSTALT

Duvardaki küçük delik

Berlin'deki Fizik-Teknik Devlet Enstitüsü (PTR) aydınlatma sanayisi için ölçü standartları geliştiriyordu. Wien ve Otto Lummer, ısıtılmış kapalı bir kovuğun duvarındaki küçük deliğin neredeyse kusursuz bir kara cisim olduğunu önerdi. Lummer ve Ferdinand Kurlbaum elektrikle ısıtılan bir platin silindir yaptı. Lummer ve Ernst Pringsheim 1899–1900'de, 12–18 µm'ye kadar uzanan ölçümlerinde Wien yasasından sistemli sapmalar buldu.

Kaynak: Wien ve Lummer, Ann. Phys. 56 (1895) 451; Lummer ve Kurlbaum, Verh. Phys. Ges. Berlin 17 (1898) 106; Lummer ve Pringsheim, Verh. DPG 1 (1899) 23, 215; 2 (1900) 163

7 EKİM 1900 · BERLİN

Bir pazar ziyareti

Heinrich Rubens ve Kurlbaum, kristallerden yansıtarak süzdükleri 51 µm'lik uzun dalgalarda ölçüm yapıyordu. Rubens bir pazar günü Planck'ı evinde ziyaret etti ve en uzun dalgalarda ışımanın sıcaklıkla doğru orantılı arttığını anlattı. Planck aynı akşam iki ucu birleştiren bir formül buldu ve onu bir kartpostalla Rubens'e gönderdi.

Kaynak: Hettner, Naturwiss. 10 (1922) 1033; Kangro (ed.), Planck's Original Papers in Quantum Physics (1972); Kuhn, Black-Body Theory and the Quantum Discontinuity (1978)

19 EKİM 1900 · ALMAN FİZİK DERNEĞİ

Bir formül, iki konuşma

Derneğin toplantısında önce Kurlbaum, Rubens ile birlikte yaptıkları uzun dalga ölçümlerini anlattı. Hemen ardından Planck "Wien tayf denkleminin bir iyileştirmesi" başlıklı kısa bir konuşma yaptı. Planck'ın Nobel konuşmasında anlattığına göre, Rubens aynı gece formülü kendi ölçümleriyle karşılaştırdı ve ertesi sabah her noktada uyum bulduğunu söylemeye geldi. Ancak formülün henüz fiziksel bir türetimi yoktu.

Kaynak: Planck, Verh. DPG 2 (1900) 202; Planck, Nobel konuşması (2 Haziran 1920); Rubens ve Kurlbaum, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. 1900, 929 (25 Ekim 1900)

14 ARALIK 1900

Enerji öğeleri

Planck formülünü türetmek için Boltzmann'ın olasılık yöntemini kullandı. Bunun için osilatörlerin enerjisini ε = hν büyüklüğündeki eşit öğelere böldü. Aynı makalede h = 6,55 × 10⁻²⁷ erg·s ve k = 1,346 × 10⁻¹⁶ erg/K buldu. Bunlardan Avogadro sayısını ve elektronun yükünü de hesapladı. Planck 1918 Nobel Fizik Ödülü'nü 1919'da aldı.

Kaynak: Planck, Verh. DPG 2 (1900) 237; Ann. Phys. 4 (1901) 553; Kragh, Physics World, Aralık 2000

1931 · GERİYE BAKIŞ

"Bir çaresizlik eylemi"

Planck otuz yıl sonra Amerikalı fizikçi R. W. Wood'a yazdığı mektupta o günleri şöyle anlattı: "Kısacası, bütün olayı bir çaresizlik eylemi olarak nitelendirebilirim. … Ne pahasına olursa olsun kuramsal bir açıklama bulunmalıydı." Planck, enerjinin paketlere bölünmesini uzun süre yalnızca bir hesap kolaylığı olarak gördü.

Kaynak: Planck'tan Wood'a mektup, 7 Ekim 1931 (AIP, Sources for History of Quantum Physics); İngilizcesi Hermann, The Genesis of Quantum Theory (1971) s. 23–24

1900–1905 · İNGİLTERE

Klasik fiziğin cevabı

Lord Rayleigh Haziran 1900'de, enerjinin kovuktaki her titreşim moduna eşit paylaştırılması ilkesinden ışımanın T/λ⁴ ile orantılı olması gerektiğini çıkardı. Kısa dalgalarda sonsuza gitmesin diye formüle elle bir üstel çarpan ekledi. 1905'te katsayıyı hesapladı; James Jeans hesaptaki 8 kat hatayı düzeltti. Einstein de aynı yıl doğru katsayıyı bağımsız olarak türetti.

Kaynak: Rayleigh, Phil. Mag. 49 (1900) 539; Nature 72 (1905) 54; Jeans, Phil. Mag. 10 (1905) 91; Pais, Subtle is the Lord (1982)

1911 · LEİDEN

Felakete bir ad

"Morötesi felaketi" (Ultraviolettkatastrophe) adını Paul Ehrenfest 1911'de koydu, yani Planck'ın formülünden on bir yıl sonra. Ders kitaplarında sık anlatılanın aksine, Planck 1900'de bu felaketi çözmeye çalışmıyordu. Onu harekete geçiren, Berlin'deki ölçümlerin Wien yasasından sapmasıydı.

Kaynak: Ehrenfest, Ann. Phys. 36 (1911) 91; Kragh, Physics World, Aralık 2000; Klein, Physics Today 19(11) (1966) 23

1905 ve 1916–17 · BERN, BERLİN

Işığın kendisi de paketli

Albert Einstein 1905'te ışığın kendisinin de enerji kuantalarından oluştuğunu öne sürdü. Bu kuantalar daha sonra foton olarak adlandırılacaktı. 1916–17'de Planck yasasını atomların ışığı soğurması, kendiliğinden salması ve uyarılmış salımı ile yeniden türetti. Uyarılmış salım, yarım yüzyıl sonra lazerin temeli oldu.

Kaynak: Einstein, Ann. Phys. 17 (1905) 132; Mitt. Phys. Ges. Zürich 18 (1916) 47; Phys. Z. 18 (1917) 121

1965–2009 · EVREN

En kusursuz kara cisim

Evrenin her yönünden gelen mikrodalga ışıma 1965'te keşfedildi. 1990'da COBE uydusunun FIRAS aygıtı bu ışımanın tayfını ölçtü: ölçülen tayf neredeyse kusursuz bir Planck eğrisiydi. Bugünkü değer T = 2,72548 ± 0,00057 K'dir. John Mather bu çalışmayla 2006 Nobel Fizik Ödülü'nü paylaştı.

Kaynak: Mather ve ark., ApJ 354 (1990) L37; Fixsen, ApJ 707 (2009) 916; nobelprize.org

Zaman çizelgesi

1847J. W. Draper: katı cisimler yaklaşık 525 °C'de (798 K) karanlıkta sönük kırmızı parlamaya başlar.
1859Kirchhoff ışıma yasasını Berlin Akademisi'nde sunar (15 Aralık); 1860'ta "kusursuz kara cisim" kavramı.
1879Stefan, toplam ışımanın T⁴ ile arttığını Tyndall'ın verilerinden çıkarır.
1884Boltzmann aynı yasayı termodinamikten türetir.
1893Wien'in kayma yasası (9 Şubat).
1895Wien ve Lummer: kovuktaki küçük delik bir kara cisimdir.
1896Wien'in dağılım yasası.
1899Lummer ve Pringsheim, PTR'de Wien yasasından sapmalar görür.
1900Rayleigh: eşbölüşümden T/λ⁴ (Haziran). Rubens'in Planck'ı ziyareti (7 Ekim). Planck formülü (19 Ekim). Planck'ın türetimi ve h (14 Aralık).
1905Rayleigh, Jeans ve Einstein: Rayleigh–Jeans yasasının katsayısı. Einstein'ın ışık kuantumu makalesi.
1911Ehrenfest "morötesi felaketi" adını kullanır. Wien Nobel Ödülü'nü alır.
1916–17Einstein: soğurma, kendiliğinden ve uyarılmış salım ile Planck yasası.
1919Planck 1918 Nobel Fizik Ödülü'nü alır.
1990COBE/FIRAS: kozmik mikrodalga arka ışıma kusursuz bir kara cisim tayfıdır.
2015IAU, Güneş'in nominal etkin sıcaklığını 5772 K olarak belirler.

Kaynaklar

Birincil: Kirchhoff, Ann. Phys. 109 (1860) 275 · Stefan, Sitzungsber. Wien 79 (1879) 391 · Boltzmann, Ann. Phys. 22 (1884) 291 · Wien, Ann. Phys. 58 (1896) 662 · Lummer ve Pringsheim, Verh. DPG 1 (1899) 23, 215; 2 (1900) 163 · Rayleigh, Phil. Mag. 49 (1900) 539 · Planck, Verh. DPG 2 (1900) 202 ve 237; Ann. Phys. 4 (1901) 553 · Rubens ve Kurlbaum, Sitzungsber. Preuss. Akad. 1900, 929; Ann. Phys. 4 (1901) 649 · Jeans, Phil. Mag. 10 (1905) 91 · Einstein, Ann. Phys. 17 (1905) 132; Phys. Z. 18 (1917) 121 · Ehrenfest, Ann. Phys. 36 (1911) 91 · Draper, Phil. Mag. 30 (1847) 345.

Tarih: H. Kragh, "Max Planck: the reluctant revolutionary", Physics World, Aralık 2000 · M. J. Klein, "Thermodynamics and quanta in Planck's work", Physics Today 19(11) (1966) 23 · T. S. Kuhn, Black-Body Theory and the Quantum Discontinuity, 1894–1912 (1978) · A. Hermann, The Genesis of Quantum Theory (1971) · H. Kangro (ed.), Planck's Original Papers in Quantum Physics (1972).

Güncel değerler: CODATA 2018 sabitleri · IAU 2015 Karar B3 (Güneş: 5772 K, 3,828 × 10²⁶ W, 695.700 km) · Fixsen, ApJ 707 (2009) 916 (KMAI: 2,72548 K) · Adelman 2004, IAU Symp. 224 (Sirius A: 9940 K) · Tkachenko ve ark., MNRAS 458 (2016) 1964 (Spica A: 25.300 K) · Levesque ve Massey, ApJL 891 (2020) L37 (Betelgeuse: 3600 K) · CIE 015:2018 (1931 2° standart gözlemci, D65, A aydınlatıcısı) · Kopp ve Lean, GRL 38 (2011) L01706 (Güneş sabiti 1360,8 W/m²).

Fırının içi ve ağzı: kovuk, ideal bir kara cisim gibi ışır. Sağda prizmanın ayırdığı ışık.

y eksenini sabitle

CIE 1931 renklilik diyagramı: Planck (kara cisim) eğrisi

Birim yüzeyden yayılan toplam güç, M = σT⁴

Klasik fizik kuantum fiziğe karşı

Kızgın bir cismin ışığını açıklamak için 1900 yılında iki yol vardı. Klasik fizik, ışığın enerjisinin bütün renklere eşit pay edildiğini varsayıyordu; bu yol uzun dalgalarda (kızılötesinde) ölçümlere uyar, ama mavi ve morötesine doğru sonsuz enerji öngörür. Max Planck ise enerjinin ancak belli büyüklükteki paketler, yani kuantalar hâlinde alınıp verilebileceğini varsaydı. Bu paketler kısa dalga boylarında büyüdüğü için oraya çok az enerji düşer ve eğri ölçümlere tam olarak uyar.

Klasik istatistik fiziği her titreşim moduna ortalama kT enerji verir (eşbölüşüm); kovuktaki mod sayısı frekansın karesiyle arttığı için Rayleigh–Jeans yasası çıkar. Bu yasa uzun dalgalarda ölçümlere uyar, ama toplam enerjiyi sonsuz yapar. Planck, 1900'de ölçümlere uyan formülünü buldu ve onu, bir osilatörün enerjisinin ε = hν büyüklüğündeki enerji öğelerinden oluştuğunu varsayarak türetti. Tarih notu: Planck'ı harekete geçiren morötesi felaketi değil, Berlin'deki ölçümlerin Wien yasasından sapmasıydı. "Morötesi felaketi" adı 1911'de konuldu (Hikâye sekmesi).

Planck yasası

Ölçülen tayfın tamamını açıklayan tek formül. Kısa dalga boylarında enerji paketleri büyüdüğü için eğri tepe yapıp sıfıra iner.

B_λ(T) = 2hc² / λ⁵ · 1 / (e^hc/λkT − 1)

Wien kayma yasası

Sıcaklık arttıkça tayfın tepesi kısa dalga boylarına kayar: sıcaklık iki katına çıkınca tepe dalga boyu yarıya iner.

λ_max · T = b, b = 2,898 × 10⁻³ m·K

Stefan–Boltzmann yasası

Bir kara cismin birim yüzeyinden yayılan toplam güç sıcaklığın dördüncü kuvvetiyle artar: sıcaklık iki katına çıkınca güç 16 katına çıkar.

M = σT⁴, σ = 5,670 × 10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴

Rayleigh–Jeans yasası (klasik)

Klasik fiziğin öngörüsü: uzun dalgalarda doğru, ama kısa dalgalarda sınırsız büyür. Bütün dalga boyları toplanınca sonsuz enerji çıkar: morötesi felaketi.

B_λ(T) = 2ckT / λ⁴

Fizik

Kara cisim nedir?

Her cisim üzerine düşen ışığın bir kısmını soğurur, bir kısmını yansıtır ve kendi sıcaklığına göre ışık yayar. Gelen ışığın tamamını soğuran ideal cisme kara cisim denir. Kirchhoff'un gösterdiği gibi, aynı sıcaklıktaki cisimler arasında en çok ışığı kara cisim yayar ve yaydığı tayf maddesinden bağımsızdır. Laboratuvarda en iyi kara cisim, ısıtılmış kapalı bir fırının duvarındaki küçük bir deliktir: deliğe giren ışık içeride defalarca yansır ve neredeyse hiç geri çıkamaz. Yıldızlar ve evrenin mikrodalga arka ışıması da kara cisme çok yakındır.

Renk neden sıcaklıkla değişir?

Isınan bir cisim her dalga boyunda ışık yayar, ama bu ışık eşit dağılmaz. Tayfın en güçlü olduğu yer, yani tepe noktası, sıcaklık arttıkça kısa dalga boylarına kayar. 300 K civarında tepe kızılötesindedir; cisim göze karanlık görünür. Yaklaşık 800 K'de tayfın kuyruğu görünür bölgenin kırmızı ucuna değer ve cisim sönük kırmızı parlamaya başlar. Sıcaklık arttıkça yeşil ve mavi de eklenir; renk turuncu, sarımsı beyaz ve beyaz olur, çok sıcak yıldızlarda mavimsi beyaza döner.

Dikkat: Gözün gördüğü renk, tepe noktasının rengi değildir. Güneş'in tayfı yeşil-camgöbeği bölgede (yaklaşık 500 nm) tepe yapar, ama bütün görünür renkleri birlikte yaydığı için beyaz görünür. Bu yüzden yeşil yıldız yoktur.

Planck yasası (birim dalga boyu, birim yüzey, birim katı açı başına güç, yani spektral parlaklık):

B_λ(λ, T) = 2hc² / λ⁵ · 1 / (e^x − 1), x = hc / λkT

Birimi W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹'dir; grafikte okunaklı olsun diye nm başına verilir (10⁻⁹ ile çarpılır). Yüzeyden yarım uzaya yayılan güç M_λ = πB_λ, kovuktaki enerji yoğunluğu u_λ = (4π/c)B_λ'dır.

İki limit:

x ≪ 1 (uzun λ): e^x − 1 ≈ x ⇒ B_λ ≈ 2ckT / λ⁴ (Rayleigh–Jeans)

x ≫ 1 (kısa λ): e^x − 1 ≈ e^x ⇒ B_λ ≈ 2hc² λ⁻⁵ e^−x (Wien, 1896)

Planck formülü bu iki yasa arasında köprü kurar. Görünür ışıkta ve sıradan sıcaklıklarda x genellikle 5'ten büyüktür; bu yüzden Wien yasası 1890'ların ölçümlerine yetiyordu. Sapma ancak 12–51 µm'lik uzun dalga ölçümlerinde açıkça görüldü.

Wien kayma yasası. dB_λ/dλ = 0 koşulu x = 5(1 − e^−x) denklemini verir. Kökü x = 4,965114… olduğundan:

λ_max T = hc / (4,965114 k) = b = 2,897772 × 10⁻³ m·K

Stefan–Boltzmann yasası. Bütün dalga boyları üzerinden toplayınca ∫₀^∞ x³/(e^x − 1) dx = π⁴/15 integrali çıkar:

M = π ∫ B_λ dλ = σT⁴, σ = 2π⁵k⁴ / (15h³c²) = 5,670374 × 10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴

Rayleigh–Jeans eğrisinin altındaki alan ise ∫ λ⁻⁴ dλ kısa dalga ucunda ıraksadığı için sonsuzdur.

Morötesi felaketi ve kuantum çözümü

Kapalı bir kovuğun içindeki ışık, gitar telindeki duran dalgalar gibi yalnızca belirli biçimlerde (modlarda) titreşebilir. Klasik fiziğe göre ısıl dengede her mod aynı ortalama enerjiyi alır. Yüksek frekanslarda mod sayısı sınırsız arttığı için toplam enerji sonsuz olur. Planck'ın varsayımında ise bir mod enerjiyi yalnızca hν büyüklüğündeki paketlerle alabilir. Paket, ısının tipik enerjisinden çok büyükse mod neredeyse hiç uyarılamaz. Bunu bozuk parası olmayan birinin yalnızca büyük banknot kabul eden bir makineyi kullanamamasına benzetebilirsin. "Morötesi felaketi" sekmesinde bunu adım adım deneyebilirsin.

Kenarı L olan kübik bir kovukta duran dalgaların dalga vektörü k = (π/L)(n_x, n_y, n_z) olur. k-uzayındaki kabuk sayımı ve iki kutuplanma, birim hacimde şu mod yoğunluğunu verir:

g(ν) dν = 8πν² / c³ · dν

Bir modun enerjisi E_n = nhν ise ısıl ortalama Boltzmann ağırlıklarıyla bulunur:

⟨E⟩ = Σ nhν e^−nx / Σ e^−nx = hν / (e^x − 1), x = hν / kT

x → 0'da (enerji sürekli kabul edilirse) ⟨E⟩ → kT (eşbölüşüm) olur. Çarpım, kovuktaki enerji yoğunluğunu verir:

u(ν) = g(ν)⟨E⟩ = 8πhν³ / c³ · 1 / (e^x − 1) = (4π / c) B_ν

Klasik çarpım g(ν)kT ∝ ν² olduğundan toplam enerji ∫ ν² dν ∝ ν_kes³ hâlinde sınırsız büyür. Kuantum çarpımında üstel bastırma kazanır ve toplam aT⁴ (a = 4σ/c) değerine yakınsar.

Renk nasıl hesaplanıyor?

Fırının rengi bir tablodan alınmıyor, doğrudan Planck tayfından hesaplanıyor. Tayf, CIE 1931 2° standart gözlemcisinin renk eşleme fonksiyonlarıyla çarpılıp 360–830 nm arasında 5 nm adımlarla toplanır:

X = ∫ B_λ x̄(λ) dλ, Y = ∫ B_λ ȳ(λ) dλ, Z = ∫ B_λ z̄(λ) dλ

(X, Y, Z) doğrusal sRGB'ye dönüştürülür (D65 beyaz noktası). Gamut dışında kalan negatif bileşenler kırpılır, en büyük bileşen 1 olacak biçimde parlaklık normalize edilir ve sRGB gama uygulanır. Fırın çiziminde parlaklık ayrıca ȳ ağırlıklı ışıklılığın logaritmasıyla ölçeklenir. Böylece 800 K sönük, 2000 K'nin üstü göz kamaştırıcı görünür. Gerçek ışıklılık oranları ekranın gösterebileceğinden milyarlarca kat büyüktür.

İleri: tepe noktası gösterime bağlıdır

Aynı tayf frekansa göre yazıldığında B_ν dν = B_λ |dλ| eşitliği geçerlidir. |dλ/dν| = c/ν² = λ²/c dönüşüm çarpanı yoğunluğu yeniden dağıtır:

B_ν(ν, T) = 2hν³ / c² · 1 / (e^hν/kT − 1)

dB_ν/dν = 0 koşulu x = 3(1 − e^−x) denklemini verir. Kökü x = 2,821439… olduğundan hν_max ≈ 2,821 kT'dir. Güneş için ν_max ≈ 339 THz bulunur; bu c/ν_max ≈ 884 nm'ye, yani kızılötesine karşılık gelir. Oysa λ_max = 502 nm'dir. İkisinin oranı 4,965/2,821 ≈ 1,76'dır. Logaritmik eksende eşit aralıklar için λB_λ = νB_ν çizilirse tepe x = 3,9207'de, Güneş için yaklaşık 636 nm'de çıkar.

Sonuç: "tayfın tepesi" fiziksel bir nicelik değil, seçilen değişkene bağlı bir özelliktir. Tepe dalga boyu, rengi ya da "en çok yayılan ışığı" tek başına anlatmaz. Değişmeyen nicelik, iki dalga boyu arasındaki toplam güçtür.

İleri: Planck'ın Ekim 1900 yolu ve Einstein'ın dalgalanmaları

Planck formülünü önce entropi üzerinden bir ara değerleme (interpolasyon) olarak buldu. Wien yasası bir osilatör için d²S/dU² ∝ −1/U, Rayleigh'in uzun dalga davranışı ise d²S/dU² ∝ −1/U² verir. Planck ikisini birleştirdi:

d²S / dU² = −α / [U (β + U)]

Bu ifade integrallenince U = β/(e^β/αT − 1) çıkar. Burada β = hν'dir. Einstein 1909'da kovuktaki enerji dalgalanmalarını bu formülden hesapladı: ⟨ΔE²⟩ = hν⟨E⟩ + ⟨E⟩² c³/(8πν²Vdν). Birinci (Wien) terim parçacık gibi, ikinci (Rayleigh–Jeans) terim dalga gibi davranır. Bu, dalga–parçacık ikiliğinin ilk nicel ifadesidir.

Kaynak: Planck, Verh. DPG 2 (1900) 202; Einstein, Phys. Z. 10 (1909) 185; Klein, Physics Today 19(11) (1966) 23.

İleri: modelin sınırları

İdeal kara cisim. Gerçek yüzeylerin yayınırlığı ε(λ) < 1'dir ve dalga boyuna bağlıdır. Akkor tungsten seçici bir yayıcıdır (görünürde ε ≈ 0,45); bu yüzden lambanın "renk sıcaklığı" (≈ 2700 K) telin gerçek sıcaklığından (≈ 2800 K) biraz düşüktür. İnsan derisinin kızılötesi yayınırlığı ≈ 0,98'dir.
Yıldızlar. Bir yıldızın etkin sıcaklığı L = 4πR²σT_etkin⁴ ile tanımlanır. Gerçek tayfta soğurma çizgileri, bantlar ve kenar kararması vardır. Güneş'in tayfı 5772 K'lik Planck eğrisine yalnızca kabaca uyar.
Kaynak arkı. Özgün sürümdeki "kaynak arkı 7000 K" seçeneği kaldırıldı. Ark, yaklaşık 10.000–20.000 K'de çizgi tayfı yayan bir plazmadır ve kara cisim sayılamaz.
Renk. CIE 1931 2° gözlemcisi, 5 nm örnekleme, sRGB gamutu ve D65 beyazı kullanılıyor. Gözün renk uyumu modellenmiyor: akkor lamba gerçekte sana bu kadar turuncu görünmez, çünkü göz onun ışığına uyum sağlar. Çok düşük ışıkta (≈ 800 K) çubuk hücreler devreye girer ve ilk parıltı renksiz, grimsi görülebilir; bu da modellenmiyor.
Mod resmi. Mod paneli kübik kovuğun düzlemsel bir dilimidir ve yalnızca tek kutuplanmayı gösterir. Kovuğun boyutu yalnızca modların sıklığını belirler; sürekli limitte sonuç boyuttan bağımsızdır. Sıfır noktası enerjisi ½hν dışarıda bırakıldı, çünkü bu enerji ışıma olarak yayılmaz.
Termal kamera. Gri tonlu görüntü 8–14 µm bandındaki Planck parlaklığından hesaplanan sahte bir görüntüdür; ortam 295 K kabul edilmiştir.

Model kendini sınıyor

Aşağıdaki testler sayfa açıldığında tarayıcında çalıştı. Her biri simülasyonun hesap motorunu bağımsız bir sonuçla karşılaştırır: bilinen bir deney değeri, ders kitabı sayısı ya da analitik bir limit.

Test	Beklenen	Model	Fark	Sonuç

Sabitler: CODATA 2018 (SI 2019 tanımları). Renk eşleme fonksiyonları: CIE 1931 2° standart gözlemci, 5 nm.